14 oktober 1997

Kungl. Vetenskapsakademien har beslutat utdela Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne år 1997 till

Professor Robert C. Merton, Harvard University, Cambridge, USA och
Professor Myron S. Scholes, Stanford University, Stanford, USA

för en ny metod att värdera derivatinstrument.

Robert C. Merton och Myron S. Scholes har, tillsammans med den avlidne Fischer Black, utarbetat en banbrytande formel för värdering av aktieoptioner. Deras metod har öppnat nya vägar för ekonomiska värderingar inom många områden. Metoden har också bidragit till framväxten av nya finansiella produkter och underlättat en effektivare riskhantering i samhället.

I en marknadsekonomi är det viktigt att företag och hushåll kan välja risknivå i sin verksamhet. Detta sker på finansiella marknader som kan omfördela risker till dem som är skickade och villiga att ta dem. Marknaderna för optioner och andra s.k. derivatinstrument spelar här en viktig roll. Där kan nämligen aktörer med framtida intäkter eller betalningar försäkra sig om en vinst över en viss nivå eller försäkra sig mot en förlust över en viss nivå. (En option kan skydda innehavaren mot ensidig risk genom sin konstruktion; den ger rätten, men ej skyldigheten, att köpa eller sälja ett visst värdepapper i framtiden, till ett specificerat pris.) God riskhantering förutsätter dock en rationell värdering av dylika instrument. En viktig insats inom de ekonomiska vetenskaperna under de senaste 25 åren är en ny metod att värdera derivatinstrument.

Metoden utarbetades av årets pristagare Robert Merton och Myron Scholes, tillsammans med Fischer Black, som tyvärr avled 1995. De tre arbetade på samma problem, att värdera optioner, och hade nära kontakt. År 1973 publicerade Black och Scholes den s.k. Black-Scholes-formeln som numera dagligen används av tusentals aktörer på finansmarknaderna för värdering av aktieoptioner. Robert Merton anvisade en metod för att härleda formeln, som visat sig vara utomordentligt generell; han har också generaliserat formeln i en rad olika riktningar.

Black, Merton och Scholes metod har lagt grunden för den snabba tillväxten av derivatmarknaderna under de senaste tio åren. Men den har också mer generella tillämpningar och har skapat nya ämnesområden inom och utanför finansiell ekonomi. Liknande metoder kan t. ex. användas för att värdera försäkringar eller garantier, men också för att värdera flexibilitet vid investeringsbeslut.

Problemet
Försöken att värdera derivatinstrument har en lång historia. Den franske matematikern Louis Bachelier gjorde i sin doktorsavhandling från år 1900 ett av de tidigaste försöken att värdera optioner, men den optionsformel han härledde led av allvarliga brister. Senare forskare beskrev aktieprisrörelser och räntor på ett bättre sätt. Men samtliga försök hamnade i stora svårigheter på en punkt; de behandlade riskpremier på ett felaktigt sätt.

Värdet av en option på en viss aktie beror på den osäkra utvecklingen av priset på aktien fram till lösendatum. Det ligger därför nära till hands att, som tidigare forskare, förutsätta att man måste bestämma den riskpremie man skall använda vid optionsvärdering, på samma sätt som man måste bestämma den riskpremie man skall använda vid nuvärdesberäkningar i en investeringskalkyl rörande ett framtida osäkert projekt. Att åsätta en riskpremie är dock svårt; den korrekta riskpremien beror på investerarens attityd till risk, vilken visserligen kan definieras strikt i teorin, men är svår eller omöjlig att direkt observera i verkligheten.

Metoden
Black, Merton och Scholes viktiga insats var att visa att man faktiskt inte behöver ta hänsyn till någon riskpremie när man värderar en option; det är tillräckligt att använda den riskfria räntan. Detta innebär inte att riskpremien försvinner; den är i stället redan inbakad i aktiepriset.

Idén bakom deras värderingsmetod kan illustreras enligt följande:

Betrakta en s. k. europeisk köpoption som ger rätten att köpa en aktie i ett visst företag till en lösenkurs av 350 kronor om tre månader. Uppenbarligen beror denna options värde idag inte bara på lösenkursen utan också på aktiens pris idag. Ju högre priset är idag desto större är ju sannolikheten att priset om tre månader överstiger 350 kronor och att det därmed lönar sig att utnyttja optionsrätten. Låt oss anta, som ett räkneexempel, att om aktien stiger med 2 kronor idag så stiger optionens värde med 1 krona, och om aktien sjunker med 2 kronor så sjunker optionens värde med 1 krona. Antag också att vi har ett antal aktier i företaget i fråga och vill minska risken av förändringar i aktiepriset. Vi kan då idag faktiskt skapa en riskfri portfölj genom att sälja två köpoptioner för varje aktie som vi innehar. Eftersom den sålunda skapade portföljen är riskfri måste det kapital vi investerat ge en avkastning som är precis densamma som den riskfria marknadsräntan; annars skulle en arbitragehandel börja som eliminerade möjligheten att göra riskfria vinster. När tiden till lösen närmar sig och aktiepriset ändras, ändras också relationen mellan optionspris och aktiepris. För att behålla vår riskfria aktie-optionsportfölj, måste vi då gradvis förändra dess sammansättning.

Ovanstående resonemang och vissa tekniska antaganden leder fram till en s. k. partiell differentialekvation. Lösningen av denna differentialekvation för en europeisk köpoption, som i exemplet ovan, ges just av Black-Scholes formel. Värderingen av andra derivatinstrument kan göras enligt samma princip.

Black-Scholes formel
Black och Scholes formel för en europeisk köpoption kan skrivas som

där hjälpvariablen d definieras av

Enligt denna formel ges köpoptionens värde C, av skillnaden mellan det förväntade aktievärdet – den första termen – och den förväntade kostnaden – den andra termen – om optionen utnyttjas. Den säger att optionsvärdet är högre ju högre dagens aktiepris S, ju större aktieprisets volatilitet (mätt som dess standardavvikelse) sigma, ju högre den riskfria räntan r, ju längre tiden till lösen t, ju lägre lösenkursen L och ju större sannolikheten för att optionen kommer att utnyttjas (sannolikheten utvärderas med hjälp av fördelningsfunktionen N för normalfördelningen).

Andra tillämpningar
Black, Merton och Scholes värderingsmetod har fått stor betydelse i analysen av många ekonomiska problem. Derivatinstrument utgör ett specialfall av s.k. betingade kontrakt. Värderingsmetoden kan ofta användas också för denna vidare klass av kontrakt. Ett företags aktier, preferensaktier, lån och andra skuldebrev har t. ex. värden som är betingade av hela företagets värde i princip på samma sätt som en aktieoptions värde är betingat av värdet på den underliggande aktien. Pristagarna observerade detta redan i sina artiklar 1973 och skapade därmed grunden till en enhetlig teori för värdering av skuldebrev i företag.

En garanti ger rätten, men inte skyldigheten, att utnyttja densamma i vissa specificerade situationer. Den som köpt eller fått en garanti har därför en slags option. På samma sätt är det med en försäkring. Man kan därför använda metoden som årets pristagare utarbetat för att värdera garantier och försäkringar. Optionsmarknaden och försäkringsbolagen har därmed numera blivit konkurrenter.

Ett annat användningsområde är investeringsbeslut. Många investeringsbeslut kan ges varierande grad av flexibilitet. Exempel är möjligheten att avbryta verksamheten en tid (i en gruva om metallpriserna är låga), eller möjligheten att byta från ett energislag till ett annat i driften (om relativpriserna mellan olja och elenergi varierar). Flexibiliteten kan ses som en option och kan givetvis variera mellan konkurrerande investeringsprojekt. För att välja rätt investering är det därför viktigt att kunna värdera flexibiliteten. Den metod Black, Merton och Scholes utvecklade gör detta möjligt.

Banker och andra finansiella företag använder sig av pristagarnas metoder för att värdera nya finansiella produkter och för att erbjuda sina kunder skräddarsydda produkter samtidigt som de reducerar sina risker på de finansiella marknaderna.

Andra forskningsinsatser
Merton och Scholes har gjort betydelsefulla insatser inom finansiell ekonomi vid sidan av teorin för prissättning av derivatinstrument. Merton har bl.a. utvecklat en ny kraftfull metod för att analysera en individs konsumtions- och investeringsbeslut över tiden samt generaliserat den s.k. CAPM (en aktievärderingsmodell för vilken Sharpe tilldelades 1990 års ekonomipris) från en statisk till en dynamisk modell. Scholes har gjort arbeten rörande utdelningarnas betydelse för aktievärdet tillsammans med bl.a. Black och Miller (vilken tilldelades 1990 års ekonomipris för sina insatser rörande företagsfinansiering) samt empiriska insatser, t. ex. rörande estimat av det s.k. beta-värdet (ett riskmått i CAPM).

***

Lästips

Kungl. Vetenskapsakademien: Additional background material on the Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1997

Black, F. och M. Scholes, 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, Vol. 81, pp. 637-654.

Black, F., 1989, “How We came Up with the Option Formula”, The Journal of Portfolio Management, Vol. 15, pp. 4-8.

Hull, J.C., 1997, Options, Futures and Other Derivates, 3rd edition, Prentice Hall.

Merton, R.C., 1973, “Theory of Rational Option Pricing”, Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, pp. 141-183.

***

Robert C. Merton, född 1944 i New York, USA. Ph.D. 1970 vid MIT, Cambridge, USA. Merton har sedan 1988 varit verksam som George Fisher Baker Professor of Business Administration vid Harvard Business School, Boston, USA.

Professor Robert C. Merton
Graduate School of Business Administration
Morgan Hall, Soldiers Field
Boston, MA 02163, USA

Myron S. Scholes, född 1941. Ph.D. 1969 vid University of Chicago, USA. Sedan 1988 verksam som Frank E. Buck Professor of Finance vid Graduate School of Business samt Senior Research Fellow vid Hoover Institution, Stanford University, Stanford, USA.

Professor Myron S. Scholes
Graduate School of Business
Stanford University
Stanford, CA 94305, USA